Question

7．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DO}$|：|$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{3}$，求菱形ABCD的内角度数．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线互相平分可得BO=DO，AO=CO，再根据向量的平行四边形法则表示出$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$，然后表示出|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$|，|$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AO}$|，从而求出$\frac{BO}{CO}$，再根据锐角三角函数的定义求出∠CBO，然后根据菱形的对角线平分一组对角求出∠ABC，再依次求解即可．

解答 解：在菱形ABCD中，BO=DO，AO=CO，
由向量的平行四边形法则得，$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$，
所以，|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$|=|$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DO}$|=|$\overrightarrow{BO}$|，
|$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{CO}$|，
∵|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$|：|$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\overrightarrow{BO}}{\overrightarrow{CO}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\sqrt{3}$，
又∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，
∴∠CBO=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=2×30°=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∠ACD=∠ABC=60°，
∠BAD=∠BCD=120°．

点评 本题考查了平面向量，菱形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键．