Question

20．已知：如图，两个半径长为r的等圆⊙O₁和⊙O₂外切于点P，A是⊙O₁上的一点，BP⊥AP，BP交⊙O₂于点B．求证：AB=2r．

Answer 1

分析 连接O₁O₂，AO₁，BO₂，只要证明四边形ABO₂O₁是平行四边形即可解决问题．

解答 证明：连接O₁O₂，AO₁，BO₂
∵⊙O₁和⊙O₂外切于点P，
∴接O₁O₂经过点P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，
∵AO₁=BO₂，
∴四边形ABO₂O₁是平行四边形，
∴AB=O₁O₂=2r．

点评 本题考查相切两个圆的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形，属于中考常考题型．