Question

已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，M为BC的中点，∠ABC=2∠ACB．

（1）如图1，N是AC的中点，连接DN，MN，求证：DM=

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AB．
（2）在图2中，DM=

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AB是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，试说明理由．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）首先证明根据直角三角形的性质可得DN=

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AC=NC，再根据三角形中位线定理可得MN=

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AB，且MN∥AB，再证明∠MDN=∠MND，根据等角对等边DM=MN，进而得到DM=

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AB；
（2）取AC的中点N，连接DN，MN，证法与（1）类似．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=

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AC=NC，
∴∠NDC=∠ACD，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=

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AB，且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠DNC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
∴∠MDN=∠MND，
∴DM=MN．
∴DM=

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AB；

（2）DM=

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AB仍然成立，
理由如下：取AC的中点N，连接DN，MN．
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=

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AC=NC．
∴∠NDC=∠ACD．
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=

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AB且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠NDC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
即2∠NDM=∠NDM+∠DNM，
∴∠NDM=∠DNM，
∴DM=MN，
∴DM=

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AB．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．