Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=4，P是AB边上的动点（不与A，B重合），过P作PE∥BC交AC于E，作PF⊥BC，垂足为F，连接EF，M是EF上的点，且EM=2FM，设BF=m．
（1）直接写出△EMP与△FMP的面积的数量关系；
（2）①求PE，PF的长（分别用含m的代数式表示）；
②设△PEM的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最大值；
③△PEM能否成为等腰三角形？若能，求出相应的m的值；若不能，请说明理由；
（3）直接写出PM长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点P作PK⊥EF，垂足为K．，根据三角形的面积公式可知：${S}_{△EMP}=\frac{1}{2}EM•PK$，${S}_{△PMF}=\frac{1}{2}FM•PK$，又因为EM=2FM，故此S_△EMP=2S_△PMF；
（2）①过点A作AG⊥BC于G，交PE于H，则BG=GC=2，AG=4，由PF∥AG，得$\frac{BF}{BG}=\frac{PF}{AG}$，可知PF=2m，由PE∥BC得$\frac{PE}{BC}=\frac{AH}{AG}$，可知：PE=4-2m；②S=$\frac{2}{3}{S}_{△PEF}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}•2m•（4-2m）$=-$\frac{4}{3}（m-1）^{2}+\frac{4}{3}$，利用二次函数的性质求得最值即可；③能成为等腰三角形．当PM=ME时，则M为EF的中点，与已知ME=2MF矛盾；当PE=ME，则$\frac{PE}{EF}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{PE}{PF}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，可求得m=10-4$\sqrt{5}$；若PM=ME，过点P作PK⊥EF与K，则K为ME的中点，故此$\frac{EK}{FK}=\frac{1}{2}$．，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得：$（\frac{PE}{PF}）^{2}=\frac{1}{2}$，即：$（\frac{4-2m}{2m}）^{2}=\frac{1}{2}$，解得m=4-2$\sqrt{2}$，综上所述可求得△PEM为等腰三角形时m的值；
（3）如图3所示：过点A作AG⊥BC于G，交PE于H，连接PG，首先证明点P、M、G在一条直线上，然后由PE∥FG，可知$\frac{PM}{PG}=\frac{2}{3}$，即PM=$\frac{2}{3}$PG，故此当GP⊥AB时，PM有最小值，先证明△PBG∽△GBA，从而可求得PG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，所以PM=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．

解答 解：（1）如图1，过点P作PK⊥EF，垂足为K．

${S}_{△EMP}=\frac{1}{2}EM•PK$，${S}_{△PMF}=\frac{1}{2}FM•PK$，
又∵EM=2FM．
∴S_△EMP=2S_△PMF；
（2）如图2所示．

①过点A作AG⊥BC于G，交PE于H，则BG=GC=2，AG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=4$．
由PF∥AG，得$\frac{BF}{BG}=\frac{PF}{AG}$，
∴$\frac{m}{2}=\frac{PF}{4}$．
∴PF=2m．
由PE∥BC得$\frac{PE}{BC}=\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{PE}{4}=\frac{4-2m}{4}$．
∴PE=4-2m．
②∵EM=2FM，
∴S_△EMP=2S_△PMF．
∴S=$\frac{2}{3}{S}_{△PEF}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}•2m•（4-2m）$=-$\frac{4}{3}（m-1）^{2}+\frac{4}{3}$．
∵$-\frac{4}{3}＜0$，
∴S有最大值，最大值为$\frac{4}{3}$．
③能成为等腰三角形．
当PM=ME时，则M为EF的中点，与已知ME=2MF矛盾；
若PE=ME，则$\frac{PE}{EF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，即$\frac{4-2m}{2m}=\frac{2}{\sqrt{5}}$．
解得：m=10-4$\sqrt{5}$．
若PM=PE，过点P作PK⊥EF与K，则K为ME的中点，
∴$\frac{EK}{FK}=\frac{1}{2}$．
∵△PFK∽△EPK，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得：$（\frac{PE}{PF}）^{2}=\frac{1}{2}$，即：$（\frac{4-2m}{2m}）^{2}=\frac{1}{2}$，
∴m=4-2$\sqrt{2}$或m=4+2$\sqrt{2}$．
∵BC=4，
∴m≤4．
∴m=4-2$\sqrt{2}$．
综上所述，当m=10-4$\sqrt{5}$或m=4-2$\sqrt{2}$时，△PEM为等腰三角形；
（3）如图3所示：过点A作AG⊥BC于G，交PE于H，连接PG．

∵PE∥BC，AG⊥BC，
∴AG⊥PE．
∴∠PHG=90°．
∴∠HGP+∠HPG=90°．
∵AG⊥BC，PF⊥BC，
∴PF∥AG．
∴∠HGP=∠GPF．
∴∠HPG+∠GPG=90°．
又∵∠HPG+MPF=90°，
∴∠MPF=∠GPF．
∴点P、M、G在一条直线上．
∵PE∥FG，
∴$\frac{PM}{MG}=\frac{ME}{FM}=\frac{2}{1}$．
∴$\frac{PM}{PG}=\frac{2}{3}$，即PM=$\frac{2}{3}$PG．
∴当GP⊥AB时，PG有最小值，即PM有最小值．
∵∠B=∠B，∠BGA=∠BPG，
∴△PBG∽△GBA．
∴$\frac{PG}{BG}=\frac{AG}{AB}$，即$\frac{PG}{2}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$．
∴PG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴PM=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短、平行线的性质和判定、二次函数的最值问题的综合应用，证得点P、M、G在一条直线上是解题的关键．