Question

17．观察下列等式：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$；
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$…+$\frac{1}{\sqrt{15}+4}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知的3个等式发现规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，把n=22代入即可求解；
（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$；

（2）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$…+$\frac{1}{\sqrt{15}+4}$，
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}-\sqrt{3}$…+4-$\sqrt{15}$，
=$\sqrt{15}$-1．

点评 此题考查了分母有理化，得出规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$是解题的关键．