正方形ABCD边长为4cm.点E.M分别是线段AC.CD上的动点.连接DE并延长.交正方形ABCD的边于点F.过点M作MN⊥DF于H.交AD于N．(1)如图1.若点M与点C重合.求证:DF=MN,(2)如图2.若点M从点C出发.以1cm/s的速度沿CD向点D运动.点E同时从点A出发.以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向点C运动.运动时间为t,①当点F是边AB的中点时.求t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，若点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①当点F是边AB的中点时，求t的值；
②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．

分析（1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到结论；
（2）①当点F是AB中点时，由比例式$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，计算即可，
②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三种情况计算．

解答证明：（1）∵∠DNC+ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF和△DNC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDN}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DNC，
∴DF=MN；
（2）①当点F是AB中点时，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=2，
由题意可知，CM=t，AE=$\sqrt{2}$t，CE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵AB∥CD，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}=\frac{2}{4}$，
∴t=$\frac{4}{3}$，
②∵△AEF∽△CED，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{AF}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$，
∴AF=$\frac{4t}{4-t}$，
∵△MND∽△DFA，
∴$\frac{ND}{AF}=\frac{DM}{AD}$，
∴$\frac{ND}{\frac{4t}{4-t}}=\frac{4-t}{4}$，
∴DN=CM=t，AN=DM=4-t，
∵△MNF是等腰三角形，
Ⅰ、当FN=FM，
∵MN⊥DF，
∴FD是MN的垂直平分线，
∴DN=DM，
∴t=4-t，
∴t=2（此时点F与点B重合），
Ⅱ、当FM=MN时，点F在BC上，如图1，

∵∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN，
∴△MFC≌△NMD，
∴FC=DM=4-t，
∵△NDM∽△DCF，
∴$\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{FC}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{4}{4-t}$，
∴t=4（此时点F，E与点C重合，点M与点D重合，如果点N和点A重合时，符合题意，点N不和点A重合时，不符合题意，所以，舍去），
Ⅲ、当FN=MN时，如图2，

∵∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN，
∴△FAN≌△NDM，
∴AF=DN，
∴$\frac{4t}{4-t}$=t
∴t=0（不符合题意），
即：当t=2时，△MNF是等腰三角形．