Question

12．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：
（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：
①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=（a+b）²-4ab；
②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=（a-b）²；
（2）由①、②可得等式（a+b）²-4ab=（a-b）²；
（3）试证明（2）中的等式成立．

Answer 1

分析 （1）①观察图形，可得图中大正方形的边长为a+b，每一块长方形木板的长为a，宽为b，根据正方形的面积=边长²，长方形的面积=长×宽即可求解；
②观察图形，可得图中空心部分的正方形边长为a-b，根据正方形的面积=边长²即可求解；
（2）根据空心部分的正方形的面积不变即可得到等式；
（3）利用完全平方公式证明即可．

解答 解：（1）①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=（a+b）²-4ab．
故答案为（a+b）²-4ab；
②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=（a-b）²．
故答案为（a-b）²；

（2）由①、②可得等式（a+b）²-4ab=（a-b）²．
故答案为（a+b）²-4ab=（a-b）²；

（3）∵左边=（a+b）²-4ab=a²+2ab+b²-4ab=a²-2ab+b²，
右边=（a-b）²=a²-2ab+b²，
∴左边=右边，
∴等式成立．

点评 此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．