Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=12，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF，继而求证△ADE∽△DBF，结合对应边成比例和BF=6-x，AE=12-y，即可求出y=-2x+12（0＜x＜6）；
（2）根据（1）所推出的结论，结合矩形的面积公式通过等量代换，即可求出二次函数S=DE•DF=-2x²+12x，然后根据二次函数的最值公式即可求出S的最大值．

解答 解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四边形DECF是矩形，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=6-x，
∵AE=12-y，
∴$\frac{12-y}{y}$=$\frac{x}{6-x}$，
∴y=-2x+12（0＜x＜6），

（4）∵y=-2x+12，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+12）=-2x²+12x=-2（x²-6x+9）+18，
即S=-2（x-3）²+18，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是18．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，矩形的面积，二次函数的最值等知识点，角的三角函数，关键在于求证△ADE∽△DBF，用关于x、y的式子表达出相关的线段，认真地进行计算．