Question

20．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F．得四边形DECF．设DE=x，DF=y
（1）将AE的长用含y的代数式表示为AE=8-y；
（2）写出y与x之间的函数表达式和x的取值范围y=8-2x（0＜x＜4）；
（3）设四边形DECF的面积为S，则S与x之间的函数表达式为S=-2（x-2）²+8．

Answer 1

分析 （1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC再根据相似三角形的对应边对应成比例从而求得；
（3）根据矩形的面积公式可得S与x之间的函数表达式．

解答 解：（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；

（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{8-y}{8}$，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）S=xy=x（8-2x）=-2（x-2）²+8．
故答案为：8-y；y=8-2x（0＜x＜4）；S=-2（x-2）²+8．

点评 此题考查了学生对相似三角形的判定和性质，及二次函数的应用等知识点的掌握情况．