Question

10．如图，已知一次函数y=kx+3-2k（k≠0），A（-2，1），C（-2，-3），B（1，-3）．
（1）求证：点M（2，3）在直线y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）当直线y=kx+3-2k（k≠0）经过点C时，点P是直线y=kx+3-2k（k≠0）上一点，若S_△CBP=2S_△ABC，求点P的坐标；
（3）当直线y=kx+3-2k（k≠0）与△ABC有公共点时，直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将直线y=kx+3-2k变形为y-3=k（x-2），由此即可证出点M（2，3）在直线y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法求出此时直线的解析式，由此可设点P的坐标为（m，$\frac{3}{2}$m），再根据S_△CBP=2S_△ABC，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出m值，将其代入点P坐标中即可得出结论；
（3）根据点A、点B的坐标，利用待定系数法分别求出直线过点A和点B时的k值，结合函数图象即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵y=kx+3-2k，
∴y-3=k（x-2），
∴当x=2时，y=3，
∴点M（2，3）在直线y=kx+3-2k（k≠0）上．
（2）将点C（-2，-3）代入y=kx+3-2k中，
得：-3=-2k+3-2k，解得：k=$\frac{3}{2}$，
此时直线CM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x．
设点P的坐标为（m，$\frac{3}{2}$m）．
∵S_△CBP=$\frac{1}{2}$BC•|y_P-y_B|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•|y_A-y_C|，S_△CBP=2S_△ABC，
∴|$\frac{3}{2}$m-（-3）|=2×[1-（-3）]，
解得：m₁=-$\frac{22}{3}$，m₂=$\frac{10}{3}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{22}{3}$，-11）或（$\frac{10}{3}$，5）．
（3）依据题意化成图形，如图所示．
将点A（-2，1）代入y=kx+3-2k中，
得：1=-2k+3-2k，解得：k=$\frac{1}{2}$；
将点B（1，-3）代入y=kx+3-2k中，
得：-3=k+3-2k，解得：k=6．
∴当直线y=kx+3-2k（k≠0）与△ABC有公共点时，k的取值范围为$\frac{1}{2}$≤k≤6．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）将直线解析式变形为y-3=k（x-2）；（2）根据面积间的关系找出关于m含绝对值符号的一元一次方程；（3）根据待定系数法求出k值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．