Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
（1）①作∠BCA的平分线，交AB于点O（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．
        ②以O为圆心，OB为半径作圆．
（2）在你所作的图中，AC与⊙O的位置关系是相切
（3）在（1）的条件下，若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线的做法得出即可；②利用以O为圆心，OB为半径作圆直接得出即可；
（2）根据切线的判定方法直接得出即可；
（3）利用切线长定理以及勾股定理求出⊙O的半径即可．

解答 解：（1）①如图所示：CO即为所求；
②如图所示：⊙O即为所求；

（2）根据点O到AC的距离等于OB长，可知AC与⊙O的位置关系是：相切；
故答案为：相切；

（3）过点O连接AC与⊙O的切点E，
∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由题意可得：CB是⊙O的切线，则CE=CB=6，
设BO=x，则EO=x，AO=6-x，
AE=10-6=4，
∵在Rt△AOE中，AE²+EO²=AO²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴⊙O的半径为3．

点评 此题主要考查了角平分线的做法以及勾股定理和切线长定理以及切线的判定等知识的运用，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解是解题关键．