Question

9．已知x₁、x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知得出△≥0且a-6≠0，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-6}$，x₁•x₂=$\frac{a}{a-6}$，代入x₁x₂=4+x₁+x₂得求出即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴△=（2a）²-4（a-6）a≥0且a-6≠0，
解得：a≥0且a≠6；

（2）∵x₁、x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-6}$，x₁•x₂=$\frac{a}{a-6}$，
由-x₁+x₁x₂=4+x₂得：x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴$\frac{a}{a-6}$=4-$\frac{2a}{a-6}$，
解得：a=24＞且a≠6，
所以存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，此时a=24．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式和方程是解此题的关键．