如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=4cm.BC=5cm.点D在边BC上.且CD=3cm.现有两个动点P.Q分别从点A和点B同时出发.其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动,点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动.过点P作PE∥BC交AD于点E.连接EQ.设动点运动时间为ts．(1)连接DP.当t＞1时.四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．
（1）连接DP，当t＞1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？

分析（1）先根据点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动求出1秒后AP及BQ的长，进而可得出QD及的长，再由PE∥BC可知$\frac{AP}{AC}=\frac{PE}{CD}$，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出结论；
（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$即可得出结论；
（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可．

解答解：（1）能，
如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PE}{CD}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}=\frac{PE}{3}$，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；

（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{4-t}{4}$=1-$\frac{t}{4}$，$\frac{CQ}{BC}=\frac{5-1.25t}{5}$=1-$\frac{t}{4}$，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$，
又∵∠C=∠C，
∴△CPQ∽△CAB，
∴∠CPQ=∠CAB，
∴PQ∥AB；

（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴$\frac{EQ}{AC}=\frac{DQ}{DC}$，
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴$\frac{4-t}{4}=\frac{1.25t-2}{3}$，解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴CN=$\frac{AC•CD}{AD}$=$\frac{12}{5}$，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴$\frac{DQ}{AD}=\frac{EQ}{AC}=\frac{EM}{CN}$，
∴$\frac{1.25t-2}{5}=\frac{5（4-t）}{12}$，
解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．