Question

12．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，BC═2AB，AD是中线，求证：△ABD是等边三角形．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AB=BD=CD，在CB的延长线上截取BE=AB，连接AE，由等腰三角形的性质得到∠E=∠BAE，得到∠E=∠C，由等腰三角形的判定得到AE=AC，
根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据得到结论．

解答 证明：∵BC=2AB，AD是BC边的中线，
∴AB=BD=CD，
在CB的延长线上截取BE=AB，连接AE
则∠E=∠BAE，
∵∠B=∠E+∠BAE=2∠E，∠B=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴AE=AC，
在△ADE与△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠E=∠C}\\{ED=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AB=AD，
∴AB=BD=AD，
即△ABD是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的好像和判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．