Question

20．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
（1）梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
（2）如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
（2）假设能相等．解题思路同（1），通过一元二次方程的根的判别式进行判断即可．

解答 解：（1）由题意可知，AB=10m，AC=8m，
设AD=x，则BE=x．
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-x；
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（8-x）^{2}}$=6+x，
则x=2．
答：梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等；

（2）假设能相等．
由题意可知，AB=13m，AC=12m，
设AD=x，则BE=x．
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5；
当B滑到E时，DE=AB=13m，CD=AC-AD=12-x；
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（12-x）^{2}}$=5+x，
整理，得
2x²-14x+69=0，
因为△=（-14）²-4×2×69=-383＜0，
所以该方程无解．即梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离不可能相等．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理应用，题目比较新颖，同学们应仔细分析．