Question

14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：AD²=AE•AC；
（2）若AB⊥AC，CE=2AE，F是BC的中点，连接AF，判断△ABF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠ABD=∠ACB，再由一对公共角，得到三角形BAE与三角形CAB相似，由相似得比例，等量代换即可得证；
（2）△ABF为等边三角形，理由为：设AE=x，表示出CE，根据（1）的结论表示出AB，利用勾股定理表示出BC，根据AF为直角三角形斜边上的中线得到AF=BF=CF，等量代换得到AF=BF=AB，即可得证．

解答 （1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AC•AE；
（2）△ABF为等边三角形，理由为：
证明：设AE=x，则CE=2AE=2x，
∵AB²=AC•AE，
∴AB²=x（x+2x）=3x²，
∴AB=$\sqrt{3}$x，
∵AB⊥AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∵F为BC的中点，
∴BF=AB=$\sqrt{3}$x，
∵AB⊥AC，F为BC的中点，
∴AF=BF=CF，
∴AF=BF=AB，
则△ABF为等边三角形．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．