Question

13．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，连接CD并以CD为边作等边△CDE，连接BE，过D作DF⊥BC于F，连AF．若AF∥DE，BC=4，则CF的长度为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 只要证明△ACD≌△BCE，△CDG≌△DEB，△ABF≌△CAD，推出AD=BE=BF，设BF=x，构建方程即可解决问题．

解答 解：∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AC=CB，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=60°，
过D作DG∥BC，则△ADG是等边三角形，
∴AD=DG=BE，∠AGD=60°，
∴∠DGC=∠DBE=120°，
∴AB=AC，AD=AG，
∴BD=CG，
∴△CDG≌△DEB（SAS），
∴∠BDE=∠BCE=∠ACD，
∵AF∥DE，
∴∠BDE=∠BAF，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴BE=BF=AD，
在Rt△BDF中，∠BDF=30°，
∴设BF=x，BD=2x，
∴BD+AD=2x+x=4，x=$\frac{4}{3}$，
∴CF=BC-BF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．