Question

4．如图，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间，∠BME+∠DNE=∠E．
（1）如图一，求证：AB∥CD；
（2）F是EM上一点，NE平分∠FND．
①如图2，若∠FNE=∠BME，∠E=60°，求证：NF⊥ME；
②如图3，延长NF交∠BME的角平分线MG于G，探究∠E，∠G与∠MFN之间有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过点E做EF∥AB，则∠BME=∠MEF，由∠E=∠MEF+∠NEF、∠BME+∠DNE=∠E可得出∠NEF=∠DNE，利用“内错角相等，两直线平行”可证出EF∥CD，进而可得出AB∥CD；
（2）①设∠FNE=∠BME=x，则∠END=60°-x，由角平分线的性质结合（1）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再根据三角形外角的性质可求出∠MFN=90°，即NF⊥ME；
②设∠BMG=∠EMG=α、∠DNE=∠GNE=β，由（1）的结论可得出∠MFN=2α+2β、∠G=α+2β、∠E=2α+β，进而即可得出∠MFN=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E）．

解答 （1）证明：在图1中，过点E做EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠BME=∠MEF．
∵∠E=∠MEF+∠NEF，∠BME+∠DNE=∠E，
∴∠NEF=∠DNE，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD．
（2）①证明：设∠FNE=∠BME=x，则∠END=60°-x．
∵NE平分∠FND，
∴∠END=∠FNE=x，
即60°-x=x，解得：x=30°．
又∵∠MFN=∠BME+∠FND=x+（x+60°-x）=90°，
∴NF⊥ME．
②解：∠MFN=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E），
证明：设∠BMG=∠EMG=α，∠DNE=∠GNE=β，则∠MFN=2α+2β，∠G=α+2β，∠E=2α+β，
∴∠MFN=$\frac{2}{3}$（3α+3β）=$\frac{2}{3}$（∠G+∠E）．

点评 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）过点E做EF∥AB，证出EF∥CD；（2）①根据角平分线的性质结合（1）的结论，列出关于x的一元一次方程；②利用（1）的结论找出∠MFN=2α+2β、∠G=α+2β、∠E=2α+β．