Question

7．用待定系数求满足下列条件的二次函数表达式．
（1）图象经过点A（1，1），B（-1，4），C（3，0）；
（2）当x=1时，有最大值-6，且图象经过点（2，-8）；
（3）图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且经过点C（1，4）．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将各点代入抛物线解析式进而求出a，b，c的值即可．
（2）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-6，将点（2，-8）代入抛物线解析式进而求出a的值即可．
（3）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点（1，4）代入抛物线解析式进而求出a的值即可．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵图象经过点A（1，1），B（-1，4），C（3，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{a-b+c=4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$．
∴二次函数表达式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$；
（2）∵当x=1时，有最大值-6，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-6），
∴设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-6，
把点（2，-8）代入代入得，-8=a（2-1）²-6，
解得a=-2，
∴二次函数的解析式为y=-2（x-1）²-6；
（3）∵图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）
∴设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点（1，4）代入得4=a（1+1）（1-3），
解得a=-2，
∴二次函数的解析式为y=-2（x+1）（x-3）=-2x²+4x+6．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．