Question

关于x的一元二次方程x²+2kx+k-1=0
（1）求证：方程x²+2kx+k-1=0有两个不相等的实数根；
（2）若方程x²+2kx+k-1=0有且只有一个根的绝对值小于2，求k的取值范围．

Answer 1

考点：根的判别式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先计算判别式得到△=（2k）²-4（k-1），再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据抛物线与x轴的交点得到抛物线y=x²+2kx+k-1与y轴的交点在x轴下方，且抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和点（2，0）之间，则x=-2时，y＜0，即4-4k+k-1＜0；x=2时，4+4k+k-1＞0；然后求出三个不等式解的公共部分即可．

解答：解：（1）△=（2k）²-4（k-1）=（2k-1）²+3，
∵（2k-1）²≥0，
∴（2k-1）²+3＞0，
∴方程x²+2kx+k-1=0有两个不相等的实数根．

（2）∵方程x²+2kx+k-1=0有且只有一个根的绝对值小于2，
∴抛物线y=x²+2kx+k-1与y轴的交点在x轴下方，且抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和点（2，0）之间，
x=-2时，y＜0，即4-4k+k-1＜0，解得k＞1，
x=2时，y＞0，即4+4k+k-1＞0，解得k＞-

3

5

，
抛物线y=x²+2kx+k-1与y轴的交点在x轴上方，且抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和点（2，0）之间，
x=-2时，y＜0，即4-4k+k-1＞0，解得k＜1，
x=2时，y＞0，即4+4k+k-1＜0，解得k＜-

3

5

，
∴k的范围为k＞1或k＜-

3

5

．

点评：此题考查根的判别式与一元二次方程与二次函数的关系，以及配方法的运用与非负数的性质，理解题意，正确利用函数解决问题．