Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接AC，作直线BC．
（1）求抛物线y=ax²+bx-4的表达式；
（2）如图2，点E（x，0）是线段OB上的一点，过点E作与x轴垂直的直线与直线BC交于点F，与抛物线交于点G．
①线段FG的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连接CG，当∠DCG=∠ACO时，求点G的坐；
（3）若点P是直线BC下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段BC上，当以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C的坐标代入求得a的值即可；
（2）①先求得直线CB的解析式，由F（x，x-4），G（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4）得到FG=-$\frac{1}{2}$x²+2x，然后依据二次函数的性质求解即可；②过点D作DH∥y轴，交CG于点H，先求得点D的坐标，则可得到CD的长，然后证明$\frac{HD}{CD}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，可得到点H的坐标，再求得CG的解析式，最后求得CG与抛物线的交点坐标即可；（3）当点Q在点C的上方时，由菱形的对角线平分每一组对角可得到∠ACP=90°，则CP∥x轴，可求得点P的坐标，故此可得到菱形的边长；当点Q在点C的下方时．过点P作PE⊥y轴，垂足为E．设菱形CQPM的边长为a，可求得点P的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-4-a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．

解答 解：（1）将x=0代入抛物线的解析式得：y=-4，
∴C（0，-4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C的坐标代入得：-8a=-4，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），即y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．

（2）①设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-4．
∴直线CB的解析式为y=x-4．
∵点E（x，0），EF⊥x轴，
∴F（x，x-4），G（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4）．
∴FG=x-4-（$\frac{1}{2}$x²-x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
∴当x=-$\frac{2}{-\frac{1}{2}×2}$=2时，FG有最大值，FG的最大值=2．
②如图1所示：过点D作DH∥y轴，交CG于点H．

∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为-4．
将y=-4代入抛物线的解析式得：-4=$\frac{1}{2}$x²-x-4，解得：x=2或x=0，
∴D（2，-4）．
∴CD=2．
∵∠ACO=∠DCG，
∴tan∠ACO=tan∠DCG，
∴$\frac{HD}{CD}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{DH}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得DH=1．
∴H（2，-3）．
设CG的解析式为y=kx-4，将点H的坐标代入得：2k-4=-3，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线CG的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4．
将y=$\frac{1}{2}$x-4代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4得：$\frac{1}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$x²-x-4，解得：x=0或x=3，
将x=3代入y=$\frac{1}{2}$x-4得：y=-$\frac{5}{2}$．
∴G（3，-$\frac{5}{2}$）．

（3）如图2所示，当点Q在点C的上方时．

∵OB=OC=4，
∴∠OCB=45°．
∵QCPM为菱形，
∴∠ACP=90°．
∴CP∥x轴．
由（2）可知点P的坐标为（2，0）．
∴菱形的边长为2．
如图3所示：当点Q在点C的下方时．过点P作PE⊥y轴，垂足为E．

设菱形CQPM的边长为a，则∠QC=PQ=a．
∵∠CQP=45°，
∴EP=QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∴P的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-4-a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．
将点P的坐标代入抛物线的解析式得：-4-a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-4，
解得：a=4$\sqrt{2}$-4．
综上所述菱形CQPM的边长为2或4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、锐角三角函数的定义，菱形的性质，分类讨论是解答本题的关键．