Question

9．操作与探究：如图1，在锐角∠MON的边OM、ON上分别取点A、C，使OA=OC，在OC上取点B，作?ABCD，连接AC、BD交于点P，作射线OP．
（1）求证：OP平分∠MON．
（2）移动点B使∠BPC=∠MON，求证：?ABCD是矩形．
（3）如图3，在（2）的条件下，去OA中点Q连接QB，将∠BPC绕点P逆时针旋转适当的角度，得到∠EPF（点E、F分别是∠EPF的两边与QB的延长线、ON的交点）．猜想线段PE与PF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据SSS判定△AOP≌△COP，即可得到∠AOP=∠COP，进而得出结论：OP平分∠MON；
（2）根据三角形内角和可得∠PBC=∠OAC，再根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA，根据等角对等边可得PB=PC，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形；
（3）根据旋转的性质，可设∠BPC=∠EPF=α，根据等腰△BCP内角和为180°，可得∠PBC=90°-$\frac{1}{2}$α，根据直角三角形斜边上中线的性质，可得∠PBE=90°+$\frac{1}{2}$α，进而得出∠PCF=∠PBE，再由旋转的性质可得∠BPE=∠CPF，最后根据ASA即可判定△PBE≌△PCF，进而得到线段PE与PF之间的数量关系．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP=CP，
在△AOP和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OP=OP}\\{AP=CP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP=∠COP，
∴OP平分∠MON；

（2）证明：∵∠BPC=∠MON，∠BCP=∠ACO，
∴∠PBC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
又∵AC=2PC，BD=2PB，
∴AC=DB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是矩形；

（3）线段PE与PF之间的数量关系为：PE=PF．
证明：根据旋转的性质，可设∠BPC=∠EPF=α，则
等腰△BCP中，∠PBC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PCF=∠BPC+∠PBC=α+90°-$\frac{1}{2}$α=90°+$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABO=90°，Q为AO的中点，
∴Rt△AOB中，BQ=$\frac{1}{2}$AO=OQ，
∴∠O=∠QBO=∠EBC，
又∵∠BPC=∠MON=α，
∴∠EBC=α，
∴∠PBE=∠PBC+∠EBC=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠PCF=∠PBE，
由旋转可得，∠BPC=∠EPF，
∴∠BPE=∠CPF，
在△PBE和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠CPF}\\{BP=CP}\\{∠PCF=∠PBE}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCF（ASA），
∴PE=PF．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．