Question

如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25米，另外三边用木栏围着，木栏长40米．
（1）若养鸡场面积为150平米，求鸡场靠墙的一边长．
（2）养鸡场面积能否达到250平米？若能，请写出方案；若不能，说明理由．
（3）请设计一方案使得鸡场面积最大．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,二次函数的应用

专题：几何图形问题

分析：（1）长边靠墙，设出鸡场宽为x米，则长（40-2x）米；或宽边靠墙，设出鸡场长为x米，宽为（40-2x）米，然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为200m²，可得方程，解方程即可；
（2）要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无实数根，说明不能达到250平方米；
（3）直接利用配方法求出二次函数最值即可．

解答：解：（1）长边靠墙，设宽为x米，长为（40-2x）米，根据题意得：
x（40-2x）=150，
-2x²+40x-150=0，
解得：x₁=5，x₂=15（不合题意舍去），
则鸡场靠墙的一边长为：40-2x=30（不合题意舍去），
宽边靠墙，设长为x米，宽为（40-2x）米，根据题意得：
x（40-2x）=150，
-2x²+40x-150=0，
解得：x₁=5（不合题意舍去），x₂=15，
则鸡场靠墙的一边长为：40-2x=10．
答：鸡场靠墙的一边长10米．

（2）根据题意得：x（40-2x）=250，
∴-2x²+40x-250=0，
∵b²-4ac=40²-4×（-2）×（-250）＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使鸡场的面积能达到250m²；

（3）设总面积为y，则y=x（40-2x）=-2x²+40x=-2（x-10）²+200，
则当x=10米时，y_最大=200平方米．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法等知识，熟记一元二次方程根与系数的关系．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．