题目内容

如图，长方形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D、E分别是OC、BC的中点，∠CDE=30°，点E的坐标为（2，a）．
（1）求a的值及直线DE的表达式；
（2）现将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点C′处，过点C′作y轴的平行线分别交x轴和BC于点F，G
①求C′的坐标；
②若点P为直线DE上一动点，连接PC′，当△PC′D为等腰三角形是，求点P的坐标．
【说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半】
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）运用特殊直角三角形先求出CE，CD的值，由中点定义可求出a的值，再设出直线DE的表达式求解即可；
（2）①运用折叠的特性即可求出C′的坐标；
②分四种情况讨论ⅠDP=PC′，ⅡDP=DC′时，Ⅲ当DC′=PC′时，Ⅳ当DP=DC′时分别求解即可．
解答：解：（1）∠CDE=30°，点E的坐标为（2，a）．
∴CE=2，CD=2
3
，
∵点D、E分别是OC、BC的中点，
∴OC=2CD=4
3
，
∴a=4
3

设直线DE的表达式为y=kx+b，把D（0，2
3
），E（2，4
3
）代入得，y=
3
x+2
3
，
（2）①∵将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点C′处，过点C′作y轴的平行线分别交x轴和BC于点F，G
∴∠CED=∠C′ED=60°，C′E=CE=2，
∴EG=1，C′G=
3
，
∴CG=CE+EG=2+1=3，C′F=OC-C′G=4
3
-
3
=3
3
，
∴C′（3，3
3
），
②Ⅰ如图1，

点P为DE的中点连接C′P，
∵△DC′E是直角三角形，
∴DP=PC′，
∴△PC′D为等腰三角形，
∴P（1，3
3
），
Ⅱ如图2，DP=DC′时，

∵DC′=DC=2
3
，
∴DP=2
3
，
∴P（
3
，3+2
3
），
Ⅲ如图3，当DC′=PC′时，

∵DC′=PC′=2
3
，且P点为C′G的延长线与DE的交点，
∴P（3，5
3
）．
Ⅳ如图4，当DP=DC′时，

∵DC′=DC=2
3
，
∴DP=2
3
，
∴P（-
3
，2
3
-3），
综上所述：当△PC′D为等腰三角形时，点P的坐标为（1，3
3
），（
3
，3+2
3
），（3，5
3
）或
（-
3
，2
3
-3）．
点评：本题主要考查了一次函数综合题，解题的关键是数形结合，分类讨论．
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