Question

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点E是AB的中点，延长EO交⊙O于D点，若BC=DC，AB=2$\sqrt{3}$，求$\widehat{AD}$的长度．

Answer 1

分析 连结BD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由BC=DC得$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，则根据垂径定理得到AC垂直平分BD，所以AB=AD，同样可得DA=DB，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAC=30°，∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在Rt△AEO中计算出AO，最后利用弧长公式计算即可．

解答 解：连结BD，如图，
∵BC=DC，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∵点E是AB的中点，即AE=BE=$\sqrt{3}$，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在Rt△AEO中，∵∠EAO=30°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=1，AO=2OE=2，
∴$\widehat{AD}$的长度=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是证明△ABD为等边三角形．