Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{3}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，且A点横坐标为2，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点D，连接BD，BC．
（1）k的值是6；
（2）若AD=AC，则△BCD的面积是18．

Answer 1

分析 （1）将x=2代入到一次函数y=$\frac{3}{2}$x中求出y值，由点A在反比例函数图象上，利用反比例函数图象上点的坐标的特点即可得出k的值；
（2）设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），由AD=AC结合点A的坐标可得出m的值，由反比例函数与过原点的一次函数的对称性可得出点B的坐标，利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，再由点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）令一次函数y=$\frac{3}{2}$x中x=2，则y=$\frac{3}{2}$×2=3，
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A（2，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×3=6．
故答案为：6．
（2）设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），
∵AD=AC，
∴点A为线段CD的中点，
∴2×2=0+m，m=4，
即点C的坐标为（4，$\frac{3}{2}$）．
∵点A的坐标为（2，3），直线y=$\frac{3}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，
∴点B的坐标为（-2，-3）．
∴AB=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（-3-3）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0．
点C到直线AB的距离d=$\frac{|3×4-2×\frac{3}{2}|}{\sqrt{{3}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{9\sqrt{13}}{13}$．
S_△BAC=$\frac{1}{2}$AB•d=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$×$\frac{9\sqrt{13}}{13}$=9．
∵AD=AC，
∴S_△BCD=2S_△BAC=2×9=18．
故答案为：18．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）求出点A的坐标；（2）求出△ABC的面积．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）难度不大，但较繁琐，解决该问中用到了两点间的距离公式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，实际运用中也可以找出直线BC与x轴的交点坐标，利用分割图形的方法求面积．