Question

2．已知四边形ABCD是平行四边形，且以AB为直径的⊙O经过点D．

（Ⅰ）如图（1），若∠BAD=45°，求证：CD与⊙O相切；
（Ⅱ）如图（2），若AD=6，AB=10，⊙O交CD边于点F，交CB边延长线于点E，求BE，DF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OD，欲证明CD是切线，只要证明OD⊥DC即可．
（2）如图2中，连接DE，EF，BD，首先证明DE是直径，再根据EF²=DE²-DF²=CE²-CF²，设DF=x，则CF=10-x，列出方程即可解决．

解答 （Ⅰ）证明：连接OD．
∵∠A=45°，OA=OD，
∴∠A=∠ADO=45°，
∴∠BOD=90°．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠CDO+∠BOD=180°．
∴∠CDO=∠BOD=90°．
∴OD⊥DC，
∴CD与⊙O相切．
（Ⅱ）如图2中，连接DE，EF，BD．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBD=90°．
∴DE是⊙O直径．
∴DE=AB=CD=10．
∴BE=BC=AD=6．
在Rt△DEF和Rt△CEF中，EF²=DE²-DF²，EF²=CE²-CF²
∴DE²-DF²=CE²-CF²．
设 DF=x，则CF=10-x．
∴10²-x²=12²-（10-x）²．
解得$x=\frac{14}{5}$．即$DF=\frac{14}{5}$．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，添加辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．