Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤b²-4ac＜0； ⑥a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　）个．

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5 个

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴$\frac{b}{2a}$＜0，
∴a、b异号，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴交与正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0；故①错误；
②∵当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴b＞a+c，故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；
∵对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴$\frac{b}{2}$=-a，
④根据抛物线的对称性知，当x=3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，
∴9a+3b+c=-$\frac{3}{2}$b+c＜0，
∴2c＜3b．故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b²-4ac＞0．故⑤错误；
⑥x=m对应的函数值为y=am²+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm=m（am+b），
故⑥正确．
综上所述，正确的有3个．
故选B．

点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．