Question

17．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3交坐标轴于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，连接BC．
①补全图形，并直接写出点C的坐标：（7，4）；
②点D是直线y=x上的一个点，且满足S_△ABD=S_△ABC，求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（4，0），则OA=4，OB=3，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由点D是直线y=x上的一个点，设D（m，m），根据S_△ABD=S_△ABC，得到CD∥AB，求得直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$，即可得到结论．

解答 解：（1）如图，当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，则B点坐标为（0，3）；
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），
则OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，
∴∠BAC=90°，AB=AC=5，
过C作CE⊥x轴于E，
∴∠ADC=∠AOB=90°，
在△AOB与△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AOB}\\{∠ABC=∠EAC}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AEC，
∴CE=OA=4，AE=OB=3，
∴C（7，4）；
故答案为：（7，4）；

（2）∵点D是直线y=x上的一个点，
设D（m，m），
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴CD∥AB，
设直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴-$\frac{3}{4}$×7+b=4，
∴b=$\frac{37}{4}$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$，
∴m=-$\frac{3}{4}$m+$\frac{37}{4}$，
∴m=$\frac{37}{7}$，
∴D（$\frac{37}{7}$，$\frac{37}{7}$）．

点评 本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，坐标与图形的变换-旋转，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．