Question

1．在平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O，如图1摆放，∠B=90°，BC=m，AC=2CE=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转，且∠ECD=∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．
（1）①当α=0°时，连接DE，则∠CDE=90°，CD=$\frac{1}{2}$m；②当α=180°时，$\frac{BD}{AE}$=$\frac{m}{n}$．
（2）试判断：旋转过程中$\frac{BD}{AE}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）若m=4，n=5，当α=∠ACB时，线段BD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
（4）若m=4$\sqrt{2}$，n=6，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，线段BD=2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）①根据直径的性质，由DE∥AB得$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$即可解决问题．②求出BD、AE即可解决问题；
（2）只要证明△ACE∽△BCD即可；
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题；
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．

解答 （1）解：①如图1中

当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°，
∵∠CDE=∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=m，
∴CD=$\frac{1}{2}$m，
故答案为90°，$\frac{1}{2}$m，

②如图2中，当α=180°时，BD=BC+CD=$\frac{3}{2}$m，AE=AC+CE=$\frac{3}{2}$n，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{m}{n}$．
故答案为$\frac{m}{n}$；

（2）如图3中，

∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵$\frac{CD}{CE}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$；
（3）如图4中，当α=∠ACB时，

在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
在Rt△ABE中．∵AB=3，BE=BC-CE=1.5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
由（2）可知△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BD}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故答案为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（4）∵m=4$\sqrt{2}$，n=6，
∴CE=3，CD=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{C{A}^{2}-B{C}^{2}}$=2，
①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，

在Rt△DBC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，

作EM⊥AB于M，
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四边形BCEM是矩形，
∴BM=CE=3，ME=4$\sqrt{2}$，
∴AM=5，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{57}$，
由（2）可知$\frac{DB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．
故答案为2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．

点评 本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．