Question

7．在图1至图3中，△ABC是等边三角形，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

观察思考：
（1）当点E为AB的中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）；
拓展延伸：
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，猜想线段AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由（提示：在图2中，过点E作EF∥BC交AC于点F，得到图3）．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再由DE=EC即可得出∠EDC=∠BCE=30°，进而得出BD=BE即可得出结论；
（2）先判断出BE=CF，再判断出∠BED=∠FCE，即可得出△DBE≌△EFC，结论得证．

解答 解：（1）∵点E是等边三角形ABC的边AB的中点，
∴AE=BE，∠ABC=60°，∠BCE=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDC=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°=∠CDE，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BD；
故答案为：=

（2）=；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F，
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=DB．
故答案为：=．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．