Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AO平分∠BAC交DE于O．
（1）若AC=27，△BCD周长等于50，求BC的长；
（2）若∠BAC=40°，在BC上存在一点P（P不与B、C重合），使得△BOP是等腰三角形，求∠BPO的度数．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线得的性质得DA=DC，再利用等线段代换和三角形周长定理得到BC+AC=50，所以BC=50-AC=23；
（2）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质得AO垂直平分BC，根据三角形内角和可就是出∠ABC=∠ACB=70°，再证明OA=OC得到∠1=∠2=20°，则∠OBC=∠OCB=50°，然后讨论：当BO=BP时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BPO=65°；当PO=PB时，同样方法得到∠BPO=80°．

解答 解：（1）∵AC的垂直平分线交AB于D，
∴DA=DC，
∵△BCD周长等于50，
即BC+BD+CD=50，
∴BC+BD+AD=50，
即BC+AC=50，
∴BC=50-27=23；
（2）连接OC，如图，
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO垂直平分BC，∠1=20°，∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=70°，
∴OB=OC，
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠1=∠2=20°，
∴∠BCO=70°-20°=50°，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
当BO=BP时，∠BPO=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°；
当PO=PB时，∠BPO=180°-2×50°=80°，
综上所述，∠BPO的度数为65°或80°．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．