Question

18．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．已知△ABC的周长为8，BC=x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由三角形的内心性质和平行线的性质证出BE=OE，CF=OF，得出△AEF的周长y与x的关系式为y=8-x，求出0＜x＜4，即可得出答案．

解答 解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC=x，
∴AB+AC=8-x，
∴y=8-x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8-x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y=8-x（x＜4），
故选：B．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的周长等知识；求出y与x的关系式是解决问题的关键．