Question

6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2$\sqrt{3}$，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，2）；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；

解答 解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB=2$\sqrt{3}$，∠BCO=∠BAO=90°，
∴B（2$\sqrt{3}$，2）．
故答案为（2$\sqrt{3}$，2）．

（2）存在．理由如下：
连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．

∵∠BDE=∠BCE=90°，
∴KD=KB=KE=KC，
∴B、D、E、C四点共圆，
∴∠DBE=∠DCE，∠EDC=∠EBC，
∵tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，∠ACB=60°
①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，
∴∠DBE=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC=BC=2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，
∴AC=2AO=4，
∴AD=AC-CD=4-2=2．
∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴AB=AD=2$\sqrt{3}$，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2$\sqrt{3}$．

（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，
∴∠DBE=∠DCO=30°，
∴tan∠DBE=$\frac{DE}{DB}$，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

②如图2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴BH=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$，
∴矩形BDEF的面积为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$]²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-6x+12），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0，
∴x=3时，y有最小值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，证明B、D、E、C四点共圆，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．