Question

8．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下结论：
①EF=AP；
②△APF和△CPF可以分别看作由△BPE和△APE绕点P顺时针方向旋转90°得到的；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S_△ABC=2S_{四边形AEPF}．
其中始终成立的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 先利用△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用等腰三角形的性质得到AP⊥BC，AP平分∠BAC，AP=BP=CP，于是可证明△BPE≌△APF，所以BE=AF，PE=PF，于是可判定△PEF为等腰直角三角形，EF=$\sqrt{2}$PE，由于当PE⊥AB时，AP=$\sqrt{2}$PE，所以EF与AP不一定相等；利用旋转的定义可对②进行判断；最后利用△BPE≌△APF得到S_△BPE=S_△APF，所以S_{四边形AEPF}=S_△ABC，从而得到S_△ABC=2S_{四边形AEPF}．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵P点为BC的中点，
∴AP⊥BC，AP平分∠BAC，AP=BP=CP，
∵∠EPF=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠APF}\\{PB=PA}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF，
∴BE=AF，PE=PF，
∴△PEF为等腰直角三角形，所以③正确；
∴EF=$\sqrt{2}$PE，
而当PE⊥AB时，AP=$\sqrt{2}$PE，
所以①错误；
∵PB=PA，PE=PF，∠BPA=∠APF=90°，
∴△PBE绕点P顺时针旋转90°可得到△PAF，
同理可得△PAE绕点P顺时针旋转90°可得到△PCF，
所以②正确；
∵△BPE≌△APF，
∴S_△BPE=S_△APF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△APE+S_△PBE=S_△ABC，
∴S_△ABC=2S_{四边形AEPF}．
所以④正确．
故选B

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．也考查了等腰直角三角形的性质，会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题．