Question

10．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A₁BC₁；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C，连接C₁B₁，则C₁B₁与BC的位置关系为平行；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C₁B₁，探究C₁B₁与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B₁B，若C₁B₁=$\frac{2}{3}$BC，△C₁BB₁的面积为4，则△B₁BC的面积为6．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到∠C₁BC=∠B₁BC=90°，BC₁=BC=CB₁，根据平行线的判定得到BC₁∥CB₁，推出四边形BCB₁C₁是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）过C₁作C₁E∥B₁C于E，于是得到∠C₁EB=∠B₁CB，由旋转的性质得到BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，等量代换得到∠C₁BC=∠C₁EB，根据等腰三角形的判定得到C₁B=C₁E，等量代换得到C₁E=B₁C，推出四边形C₁ECB₁是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）设C₁B₁与BC之间的距离为h，由已知条件得到$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，根据三角形的面积公式得到$\frac{{S}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}}{{S}_{△{B}_{1}BC}}$=$\frac{2}{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）平行，
∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A₁BC₁；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C，
∴∠C₁BC=∠B₁CB=90°，BC₁=BC=CB₁，
∴BC₁∥CB₁，
∴四边形BCB₁C₁是平行四边形，
∴C₁B₁∥BC，
故答案为：平行；

（2）证明：如图②，过C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，则∠C₁EB=∠B₁CB，
由旋转的性质知，BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，
∴∠C₁BC=∠C₁EB，
∴C₁B=C₁E，
∴C₁E=B₁C，
∴四边形C₁ECB₁是平行四边形，
∴C₁B₁∥BC；

（3）由（2）知C₁B₁∥BC，
设C₁B₁与BC之间的距离为h，
∵C₁B₁=$\frac{2}{3}$BC，
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵S${\;}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$B₁C₁•h，S${\;}_{△{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}$BC•h，
∴$\frac{{S}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}}{{S}_{△{B}_{1}BC}}$=$\frac{\frac{1}{2}{B}_{1}{C}_{1}•h}{\frac{1}{2}BC•h}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵△C₁BB₁的面积为4，
∴△B₁BC的面积为6，
故答案为：6．

点评 本题考查了几何变换，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，过C₁作C₁E∥B₁C是解题的关键．