Question

11．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点，例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1．我们就说1是函数y=x-1的零点．已知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）利用新定义解方程x²-6=0即可；
（2）把问题转化为证明x²-2mx-2（m+3）=0有两个不相等的实数解，于是证明△＞即可；
（3）由于方程x²-2mx-2（m+3）=0的两个不相等的实数解为x₁和x₂，则利用根与系数的关系得到x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3），再由$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$变形得到x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$x₁x₂，所以2m=-$\frac{1}{4}$×[-2（m+3）]，然后解关于m的一次方程即可．

解答 （1）解：m=0时，函数解析式为y=x²-6，
令y=0，x²-6=0，解得x₁=$\sqrt{6}$，x₂=-$\sqrt{6}$，
所以该函数的零点为$\sqrt{6}$和-$\sqrt{6}$；
（2）证明：令y=0，x²-2mx-2（m+3）=0，
∵△=4m²-4×[-2（m+3）]
=4m²+8m+24
=4（m+1）²+20＞0，
∴x²-2mx-2（m+3）=0有两个不相等的实数解，
∴无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）解：∵函数y=x²-2mx-2（m+3）的两个零点分别为x₁和x₂，
∴方程x²-2mx-2（m+3）=0的两个不相等的实数解为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3），
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$x₁x₂，
即2m=-$\frac{1}{4}$×[-2（m+3）]，
解得m=1．

点评 本题考查了二次函数的综合题：把新定义“函数的零点”转化为求函数图象与x轴的交点坐标，利用判别式的意义判断抛物线与x轴的交点个数解决（2）小题，利用根与系数的关系解决（3）小题．