Question

19．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{ax+3y=b-1}\end{array}\right.$①无数多个解；②唯一解；③无解．分别求三种情况下a、b的值．

Answer 1

分析 将元方程组消元化简为：ax=b的形式其解有三种可能：①当a≠0时方程组有唯一解；②当a=0，b=0时，方程组有无数多个解；③当a=0，b≠0方程组无解；

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}&{①}\\{ax+3y=b-1}&{②}\end{array}\right.$
由①得：x=y+5    ③
         将③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1，
情况1：当$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{-5a+b-1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-14}\end{array}\right.$时，原方程组转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{x-y=5}\end{array}\right.$，
               那么，满足x+y=5的x、y的值有无数对，
        即：当a=-3，b=-14时，原方程组有无数多个解；
情况2：$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{-5a+b-1≠0}\end{array}\right.$当$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b≠-14}\end{array}\right.$时，原方程组转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{x-y≠5}\end{array}\right.$
            因为这两个方程互相矛盾，所以方程组无解．
        即：当a=-3，b≠-14时，原方程组无解；
情况：当a≠-3时，
          由①得：x=y+5    ③
         将③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1，
          因为a≠3，所以y有唯一解：y=$\frac{-5a+b-1}{a+3}$
      即：当a≠3，b为任意实数时原方程组有唯一解：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{b+14}{a+3}}\\{y=\frac{-5a+b-1}{a+3}}\end{array}\right.$

点评 本题考查了二元一次方程组的解的个数问题，关键是要理解使方程ax+by=c的有无解的条件．