Question

16．若实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7}\\{{x}^{2}-xy+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，则x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴的值是（　　）

• A． 2²⁰¹⁴+1
• B． 2²⁰¹⁴-1
• C． -2²⁰¹⁴+1
• D． -2²⁰¹⁴-1

Answer 1

分析 先原方程组相加和相减得两个新的方程③和④，由③和④组成方程组解出代入x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴即可得出结论．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7①}\\{{x}^{2}-xy+{y}^{2}=3②}\end{array}\right.$，
①-②得：2xy=4，
xy=2③，
①+②得：x²+y²=5④，
由③和④组成方程组为：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-1}\\{{y}_{3}=-2}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2}\\{{y}_{4}=-1}\end{array}\right.$，
分别代入x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴中均满足x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴=2²⁰¹⁴+1；
故选A．

点评 本题是二元二次方程组及高次代数式的计算，首先利用加减法把方程组转化为新的方程组，可以利用完全平方公式来解；同时利用任何数的偶次方都是正数进行代入计算．