Question

如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15．点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP为等腰三角形？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：作AD⊥BC于D，如图1，设AD=y，BD=x，则CD=BC-BD=14-x，利用勾股定理得到x²+y²=13²，（14-x）²+y²=15²，消去y可解得x=5，即BD=5，然后分类讨论：当BP=BA时，△ABP为等腰三角形，即2t=13，解得t=

13

2

（s）；当AP=AB时，△ABP为等腰三角形，如图2，则PB=2BD，即2t=2×5，解得t=5（s）；作AB的中垂线交AB于Q，交BC于P，则PA=PB，△ABP为等腰三角形，如图3，证明Rt△BPQ∽Rt△BAD，利用相似比得到

2t

13

=

13 2

5

，解得t=

169

20

（s）．

解答：解：作AD⊥BC于D，如图1，设AD=y，BD=x，则CD=BC-BD=14-x，

在Rt△ABD中，x²+y²=13²①，
在Rt△ACD中，（14-x）²+y²=15²②，
②-①得14²-28x=28×2，解得x=5，
∴BD=5，
当BP=BA时，△ABP为等腰三角形，即2t=13，解得t=

13

2

（s）；
当AP=AB时，△ABP为等腰三角形，则AD垂值平分BP，如图2，

∴PB=2BD，即2t=2×5，
∴t=5（s）；
作AB的中垂线交AB于Q，交BC于P，则PA=PB，△ABP为等腰三角形，
如图3，

则BQ=

1

2

AB=

13

2

，BP=2t，
∵∠PBQ=∠ABD，
∴Rt△BPQ∽Rt△BAD，
∴

PB

AB

=

BQ

BD

，即

2t

13

=

13 2

5

，
∴t=

169

20

（s），
综上所述，当t为

13

2

s或5s或

169

20

s时，△ABP为等腰三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．