Question

某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x（吨）时，所需的费用y（万元）与（x²+60x+800）成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p（单位：万元）由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为-

1

20

．在营销中发现年产量为20吨时，所需的全部费用是240万元，并且年销售量W最大值为55万元．（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）求y（万元）与x（吨）之间满足的函数关系式；
（2）求年销售利润W与年产量x（吨）之间满足的函数关系式；
（3）当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设y=k（x²+60x+800），由待定系数法建立方程求出k值即可；
（2）设基础价为a，则p=a-

1

20

x，根据年利润=年销售额-全部费用就可以表示出W与x的关系式；
（3）根据（2）的结论把a、x的值代入p=a-

1

20

x，求出p即可．

解答：（1）设y=k（x²+60x+800），由题意，得
240=k（20²+60×20+800），
解得：k=

1

10

，
∴y=

1

10

x²+6x+80；
（2）设基础价为a，则p=a-

1

20

x，
∴W=px-y=（a-

1

20

x）x-（

1

10

x²+6x+80）=-

3

20

[x-

1

3

×10（a-6）]²+

1

3

×5（a-6）²-80．
∵W最大值为55万元，
∴

1

3

×5（a-6）²-80=55，
解得：a₁=15，a₂=-3（舍去），
∴W=-

3

20

[x-

1

3

10（15-6）]²+

1

3

×5（15-6）²-80=-

3

20

（x-30）²+55；
（3）∵W=-

3

20

（x-30）²+55，
∴当x=30（吨）时，年销售利润最大，
∴p=a-

1

20

x=15-

1

20

×30=13.5（万元/吨），
∴当年销售利润最大时，每吨的售价是13.5万元．

点评：本题考查了销售问题的年利润=年销售额-全部费用的关系式的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．