Question

11．（如图）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是线段AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P，设⊙O的半径为r，求证：OE•OP=r²．

Answer 1

分析 连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．由FQ是⊙O直径得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知条件即可得到∠QFD=∠P，然后即可证明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 证明：如图，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．
∵FQ是⊙O直径，
∴∠FDQ=90°．
∴∠QFD+∠Q=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°．
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P．
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF．
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{OF}{OP}$．
∴OE•OP=OF²=r²．

点评 此题分别考查了相似三角形的性质与判定、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．