Question

20．已知，△ABC的三边为a、b、c，且∠B=60°，sinA×sinC=$\frac{1}{4}$，若S_△ABC=$\sqrt{3}$，则b=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先利用三角形的面积公式求得a=$\frac{4}{c}$，由于sinA×sinC=$\frac{1}{4}$，得到sinA=$\frac{1}{4sinC}$，再根据正弦定理得到$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sibC}$=4，于是求出结果．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴a=$\frac{4}{c}$，
∵sinA×sinC=$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\frac{1}{4sinC}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{\frac{4}{c}}{\frac{1}{4sinC}}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{16sinC}{c}=\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{si{n}^{2}C}=16$，
∴$\frac{c}{sinC}$=4，
∴$\frac{b}{sinB}$=4，
∴$\frac{b}{sin60°}=4$，
∴$b=2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，本题有一定的难度，熟练掌握正弦定理是解题的关键．