Question

19．设方程x²-8x+4=0的两根分别是x₁、x₂，不解方程试求下列各式的值．
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
（2）${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理可得x₁+x₂=8，x₁x₂=4，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$计算可得；
（2）将x₁+x₂、x₁x₂代入${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂可得；
（3）将x₁+x₂、x₁x₂代入$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$即可得．

解答 解：（1）∵方程x²-8x+4=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{8}{4}$=2；

（2）${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=64-8=56；

（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{8}^{2}-2×4}{4}$=14．

点评 本题主要考查根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的根本，将待求代数式灵活变形是解题的关键．