Question

10．阅读下面的材料，并解答问题：
①$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{（2+\sqrt{2}）（2-\sqrt{2}）}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
②$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{（3\sqrt{2}+2\sqrt{3}）（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{（4\sqrt{3}+3\sqrt{4}）（4\sqrt{3}-3\sqrt{4}）}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$，…
（1）若n为正整数，用含有n的等式来表示你所探索的规律，并写出推导过程；
（2）利用你探索的规律计划：$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）原式各项分母有理化后，合并即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+…+$\frac{\sqrt{99}}{99}$-$\frac{\sqrt{100}}{100}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．

点评 此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．