Question

4．如图，一次函数y=x²-x-2的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，点M在第一象限的抛物线上，CM交x轴于点P，且PA=PC，求点M的坐标．

Answer 1

分析 首先求出点A和点C的坐标，设出点P的坐标为（a，0），根据PA=PC，求出点P的坐标，进而求出直线PC的解析式，再联立两个函数解析式，求出交点坐标；

解答 解：令y=x²-x-2=0，
解得x₁=2，x₂=-1；
点A坐标为（-1，0），
令x=0，y=-2，
则点C的坐标为（0，-2），
设点P的坐标为（a，0）
由于PA=PB，
则a+1=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
解得a=$\frac{3}{2}$，
设直线CP的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
直线CP的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-2}\\{y={x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{10}{9}}\end{array}\right.$，
则M点坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用两点间的距离公式进行解题，此题难度不大．