Question

10．如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：
①DE=DF；
②∠EDF=90°；
③四边形CEDF不可能为正方形；
④四边形CEDF的面积保持不变．
一定成立的结论有①②④（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 ①连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，证明DE=DF；
②由△CDF和△ADE全等得到∠CDF=∠EDA，根据∠ADE+∠EDC=90°，得到∠EDF=90°；
③当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
④由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变．

解答 解：①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，①正确；
②∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，②正确；
③当E、F分别为AC、BC中点时，DE⊥AC，DF⊥BC，又∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形CDFE是正方形，③错误；
④如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
则DM=DN，
在Rt△DME和Rt△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变，④正确，
故答案为：①②④．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．