Question

13．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OH⊥MN．

Answer 1

分析 由AD、BE、CF分别是△ABC的高，可得A、C、D、F四点共圆，AC为直径，进而由圆内接四边形性质得到∠BDF=∠BAC，由O为△ABC外心，可得∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=90°-∠BAC=90°-∠FDB，进而得到结论．

解答 证明：∵A、C、D、F四点共圆，
∴∠BDF=∠BAC
又∵∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=90°-∠BAC，
∴OB⊥DF．
∵CF⊥MA，
∴MC²-MH²=AC²-AH²（①）
∵BE⊥NA，
∴NB²-NH²=AB²-AH² （②）
∵DA⊥BC，
∴BD²-CD²=BA²-AC² （③）
∵OB⊥DF，
∴BN²-BD²=ON²-OD² （④）
∵OC⊥DE，
∴CM²-CD²=OM²-OD²，
  ①-②+③+④-⑤，得NH²-MH²=ON²-OM²  MO²-MH²=NO²-NH²
∴OH⊥MN．

点评 主要考查了圆周角定理和三角形的外角和内角关系，其中分析出A、C、D、F四点共圆，是解答的关键．