(1)问题发现:如图1.在边长为4的正方形ABCD中.点E.F分别是边CD.AD上的动点.连接BE.CF交于点P.若始终保持CE=DF．①线段BE和CF的关系是 BE=CF.且BE⊥CF.说明理由,②当点E从点C运动到点D时.求点P运动的路径长,(2)拓展探究:如图2.在边长为6的等边三角形ABC中.点E.F分别是边AC.BC上的动点.连接AF.BE.交于点P.若始终保� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）问题发现：
如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD上的动点，连接BE、CF交于点P，若始终保持CE=DF．
①线段BE和CF的关系是 BE=CF，且BE⊥CF，说明理由；
②当点E从点C运动到点D时，求点P运动的路径长；
（2）拓展探究：
如图2，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE=CF，当点E从点A运动到点C时，直接写出点P运动的路径长是 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

分析（1）由正方形的性质，得出结论，直接判断出△BCE≌△CDF，再利用互余得出∠CPE=90°即可；
（2）由题意判断出点P的运动轨迹，然后用弧长公式计算即可；
（3）由题意判定出点P的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的三分之一圆，计算即可．

解答解：（1）①BE=CF，BE⊥CF，
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CF=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF，
∴BE=CF，∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DCF+∠BEC=90°，
∴∠CPE=90°，
∴BE⊥CF，
即：BE=CF，且BE⊥CF；
②如图1，

由①知，BE⊥CF，
∴在点E从点C到点D的过程中，始终有∠BPC=90°，
∵BC=4，
∴点P运动得路径是以BC为直径的$\frac{1}{4}$圆弧上，
∴点P的运动路径长为$\frac{1}{4}$×2π×2=π；
（3）如图2，

点P在以O为圆心，OA为半径的$\frac{1}{3}$圆弧上，
当点E运动到AC中点时，点F也运动到BC的中点，此时点P经过$\widehat{AB}$的中点，
此时△ABP为等腰三角形，∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
∵AB=6，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴点P的路径为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π，

点评此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，动点问题，解本题的关键是确定出点P的运动轨迹，也是本题的难点．

指数运算	2¹=2	2²=4	2³=8	…	3¹=3	3²=9	3³=27	…
新运算	log₂2=1	log₂4=2	log₂8=3	…	log₃3=1	log₃9=2	log₃27=3	…

试题分类