Question

12．如图，以BC为直径的半圆中，A为弧BC上一点，AC=$\sqrt{3}$，AB=4，D为BC上一点，∠CAD=30°，则AD的长为（　　）

• A． $\frac{9}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 作DH⊥AC于H，如图，设DH=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=2x，AH=$\sqrt{3}$x，CH=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}x$，再根据圆周角定理得到∠BAC=90°，接着证明△CDH∽△CBA，利用相似比得到$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，解得x=$\frac{4}{5}$，从而得到AD=2x=$\frac{8}{5}$．

解答 解：作DH⊥AC于H，如图，设DH=x，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=30°，
∴AD=2x，AH=$\sqrt{3}$x，
∴CH=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}x$，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DHC，
∴AB∥DH，
∴△CDH∽△CBA，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{CH}{CA}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，解得x=$\frac{4}{5}$，
∴AD=2x=$\frac{8}{5}$．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时只有利用相似比计算线段的长．也考查了圆周角定理．